矩阵合同的性质是? 还有,矩阵若相似就一定合同么??? 求大神们解答,,,,
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矩阵合同的性质:
1、反身性:任意矩阵都与其自身合同;
2、对称性:A合同于B,则可以推出B合同于A;
3、传递性:A合同于B,B合同于C,则可以推出A合同于C;
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵若相似就一定合同。在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知,合同矩阵等秩。
扩展资料:
矩阵合同的主要判别法:
1、设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数(即正、负特征值的个数相等)。
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矩阵合同的性质是? 还有,矩阵若相似就一定合同么??? 求大神们解答,,
答:
以下依网文整理,没有进行严格证明分析,仅供参考。
命题一:
实对称矩阵A相似于实对角阵B;那么A合同于B.
简言之:两实对称矩阵相似,一定合同.
注:实对称矩阵,即满足A'=A的矩阵A。
实对称矩阵之间的相似,称为正交相似,相应的变换矩阵为正交矩阵。
正交相似变换矩阵P,P^(-1)=P',P既是相似变换也是合同变换。这里P'表P的转置。
证:
T'AT=diag{x1,x2,...,xn}(x1,...,xn为A的特征值)
Q'BQ=diag{y1,y2,...,yn}(y1,...,yn为B的特征值)
注:以上是说,实对称矩阵必定合同于对角阵。
由于A和B相似,故可令xi=yi
=>T'AT=Q'BQ(T和Q均为正交阵)
=>(Q')^(-1)*左侧*Q^(-1)=[TQ^(-1)]'ATQ^(-1)=(Q')^(-1)*右侧*Q^(-1)=B
令C=TQ^(-1),上式即C'AC=B,且C可逆,故A合同于B。
更强的命题——谱分解定理:实对称矩阵正交相似于对角阵。
注:也就是说如果A是实对称矩阵,不仅存在可逆阵P使得D=P^{-1}AP是对角阵,而且还可以要求P是正交阵
注:上面讲了,对于实对称矩阵,相似一定合同。此时,可 用正负惯性指数(此时分别等于正负特征 值重数之和)衡量合同性。而在非对称矩 阵情形下,不能用正负惯性指数判别合同 性,且相似合同无直接联系。
命题二:
实对称矩阵A和B合同,不能推出A,B相似,即合同不一定相似。
例如:对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵,而单位矩阵只能和单位矩阵相似。
综述:
相似不一定合同,合同不一定相似;
实对称矩阵相似一定合同,合同不一定相似。
答:
以下依网文整理,没有进行严格证明分析,仅供参考。
命题一:
实对称矩阵A相似于实对角阵B;那么A合同于B.
简言之:两实对称矩阵相似,一定合同.
注:实对称矩阵,即满足A'=A的矩阵A。
实对称矩阵之间的相似,称为正交相似,相应的变换矩阵为正交矩阵。
正交相似变换矩阵P,P^(-1)=P',P既是相似变换也是合同变换。这里P'表P的转置。
证:
T'AT=diag{x1,x2,...,xn}(x1,...,xn为A的特征值)
Q'BQ=diag{y1,y2,...,yn}(y1,...,yn为B的特征值)
注:以上是说,实对称矩阵必定合同于对角阵。
由于A和B相似,故可令xi=yi
=>T'AT=Q'BQ(T和Q均为正交阵)
=>(Q')^(-1)*左侧*Q^(-1)=[TQ^(-1)]'ATQ^(-1)=(Q')^(-1)*右侧*Q^(-1)=B
令C=TQ^(-1),上式即C'AC=B,且C可逆,故A合同于B。
更强的命题——谱分解定理:实对称矩阵正交相似于对角阵。
注:也就是说如果A是实对称矩阵,不仅存在可逆阵P使得D=P^{-1}AP是对角阵,而且还可以要求P是正交阵
注:上面讲了,对于实对称矩阵,相似一定合同。此时,可 用正负惯性指数(此时分别等于正负特征 值重数之和)衡量合同性。而在非对称矩 阵情形下,不能用正负惯性指数判别合同 性,且相似合同无直接联系。
命题二:
实对称矩阵A和B合同,不能推出A,B相似,即合同不一定相似。
例如:对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵,而单位矩阵只能和单位矩阵相似。
综述:
相似不一定合同,合同不一定相似;
实对称矩阵相似一定合同,合同不一定相似。
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追问
谢谢啊,,,
非常感谢
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外则:
合同-相似-等价
合同是一种等价关系;相似也是一种等价关系。
参考:龚升《线性代数五讲》摘
相似关系:一个有限维向量空间上,同一个线性算子在不同的基下所对应的矩阵之间的关系。
相合关系(合同关系):一个有限维向量空间上,同一个双线性形式在不同基下所对应的矩阵之间的关系。
等价关系(等秩关系):两个有限维向量空间之间的线性变换,在这两个向量空间的各自取定的基下所对应的矩阵之间的关系。
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