Question

在三角形abc中，已知内角A=π/3，边BC=2根号3，则三角形abc的面积S的最大值为

Answer 1

三角型为等边三角形时候面积最大，为3倍根号3.
方法，做内角A角平分线，当线垂直于BC时，面积最大，用勾股定理算出另外两边相等。三角形为等边三角形。且高为3.

追问

为什么等边三角形时面积最大？

追答

证明：a+b+c=180°，2b=a+c=180°-b，则b=60°；
则由余弦定理可知：cosb=(a²+c²-b²)/(2ac)=cos60°=1/2
即(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2
a²+c²-b²=ac
a²+c²=ac+b²
a²+c²+ab+bc=ac+b²+ab+bc
c(b+c)+a(a+b)=a(b+c)+b(b+c)=(a+b)(b+c)
[c(b+c)+a(a+b)]/[(a+b)(b+c)]=1
[c/(a+b)]+[a/(b+c)]=1
[c/(a+b)]+1+[a/(b+c)]+1=1+1+1
[c/(a+b)]+[(a+b)/(a+b)]+[a/(b+c)]+[(b+c)/(b+c)]=3
[(a+b+c)/(a+b)]+[(a+b+c)/(b+c)]=3
[1/(a+b)]+[1/(b+c)]=3/(a+b+c
另外，你可以想一下，当周长一定时，三角形面积要最大，必须是正三角形，也就是等边三角形。

Answer 2

因为 内角C=π-(π/3+x)>0
所以 0<x<2π/3
sinC=sin(x+π/3)
根据正弦定理
AC=BC*sinB/sinA=2根3*sinx/(根3/2)=4*sinx
AB=BC*sinC/sinA=2根3*sin(x+π/3)/(根3/2)=4*sin(x+π/3)
因此 y=AC+AB+BC=4*sinx+4*sin(x+π/3)+2根3
=4根3*sin(x+π/6)+2根3
=f(x) 0<x<2π/3