Question

数学分析高手请帮我看一道中值定理的证明题。

设f在[a,b]上三阶可导，求证存在一点ξ∈(a,b)，满足：

又貌似泰勒中值定理的形式，却没有二阶导数项，好奇怪。
见华东师范大学编写的《数学分析》（第二版）上册183页。

Answer 1

注意到常数部分相对f’’’(ξ)可以分离，令f’’’(ξ)=k，则
f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³*k ①
而①式是关于a,b的轮换对称式，即(a,b)→(b,a)式子不变．因此，考虑用常数k值法解决
基本思想是：将常数部分令为k，将a换成x，构造辅助函数F(x)，再用罗尔定理
注：是否使用常数k值法一是看常数部分是否可以分离，二是看换成k后的表达式是否为关于端点的对称式或轮换对称式

令F(x)= f(b)-f(x)-1/2*(b-x)*[f’(x)+f’(b)]+1/12*(b-x)³*k
易见F(a)=F(b)=0
对F(x)在[a,b]上应用罗尔定理，则至少存在一点η∈(a,b)，使得F’(η)=0
又F’(x)=-f’(x)+1/2*[f’(x)+f’(b)]-1/2*(b-x)*f’’(x)-1/4*(b-x)²*k
∵F’(b)=0，∴F’(η)= F’(b)
对F’(x)在[η,b]上应用罗尔定理，则至少存在一点ξ∈(η,b)属于 (a,b)，使得F’’(ξ)=0
∵F’’(x)=-f’’(x)+1/2* f’’(x) +1/2* f’’(x)-1/2*(b-x)*f’’’(x)+1/2*(b-x)*k
=1/2*(b-x)*[k-f’’’(x)]
∴F’’(ξ)=1/2*(b-ξ)*[k-f’’’(ξ)]=0
∵b-ξ≠0，∴k=f’’’(ξ)
即f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³* f’’’(ξ)

Answer 2

第一步，f(x)在a点泰勒展开，然后取x=b，得出一个泰勒展开式f(b)=......
第二步，f(x)在b点泰勒展开，然后取x=a，得出一个泰勒展开式f(a)=......
第三步，把前两步得出的式子相减，整理出f(b)-f(a)
PS，但是只有三阶导数连续的时候才能证明你的式子

追问

请完整证明一下