Question

“设0小于a ，b，c小于1 求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于1/4

Answer 1

反证法：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a 同时大于1/4那么（1-a）b+（1-b）c+（1-c）a>3/4a+b+c-ab-bc-ac>3√abc-3abc>3/4 换元 t+t-t2>1/4 0<t<1显然有（t-1/2)2<0 矛盾故假设不成立 所以 （1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于1/4 （用假设法做这类题目是最好的）

Answer 2

假设(1-a)b>1/2,(1-b)c>1/2,(1-c)a>1/2.
因a、b、c都是小于1的正数,故
根[(1-a)b]>1/2
根[(1-b)c]>1/2
根[(1-c)a]>1/2
从而有:
根[(1-a)b]+根[(1-b)c]+根[(1-c)a]>3/2.
但是,
根[(1-a)b)]+根[(1-b)c]+根[(1-c)a]
=<(1-a+b)/2+(1-b+c)/2+(1-c+a)/2
=[3-(a+b+c)+(a+b+c)]/2
=3/2
这与上式中大于3/2相矛盾
所以假设不成立,原命题正确
即(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中最少有一个不大于1/4.