Question

arctancosx在(0,pai)上求定积分

Answer 1

综述如下：

对于在π／2到π上的积分：

令t=π－x，那么x=π－t, dx= -dt

∫（π／2->π）arctancosxdx

＝∫（π／2->0) arctancos(π－t)d(-t)

= -∫（0->π／2) arctancostdt

＝∫（0->π／2) arctancosxdx

所以：

∫（0->π）arctancosxdx

＝∫（0->π／2) arctancosxdx +∫（π／2->π）arctancosxdx

＝∫（0->π／2) arctancosxdx -∫（0->π／2) arctancosxdx

=0

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间［a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿－莱布尼茨公式）。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿－莱布尼兹公式。

Answer 2

对于在π/2到π上的积分，

令t=π-x，那么x=π-t, dx= -dt
∫(π/2->π) arctancosxdx

=∫(π/2->0) arctancos(π-t)d(-t)
= -∫(0->π/2) arctancostdt
=∫(0->π/2) arctancosxdx

所以
∫(0->π) arctancosxdx
=∫(0->π/2) arctancosxdx + ∫(π/2->π) arctancosxdx
=∫(0->π/2) arctancosxdx - ∫(0->π/2) arctancosxdx
=0

Answer 3