Question

如图,AE是圆O的切线,A是切点,AD与OE垂直,垂足是D,割线EC交圆O于B,C,且∠BDC=62°

如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D，割线EC交圆O于B、C，且∠BDC=62°，∠DBE=108°，则∠OEC=_______________

请写出推导过程。

Answer 1

解：

连接OA，OB

∵AE是⊙O切线

∴∠OAE=90°

∵AD⊥OE

∴∠ADE=90°=∠OAE

又∵∠AED=∠OEA（公共角）

∴△ADE∽△OAE（AA）

∴DE/AE=AE/OE

∴AE²=DE×OE【此处为射影定理的证明过程，不知你是初中，还是高中，故用相似】

∵AE²=BE×CE（切割线定理）

∴DE×OE=BE×CE

∴DE/BE=CE/OE

又∵∠BED=∠OEC（公共角）

∴△BED∽△OEC（SAS）

∴∠BDE=∠OCE

∴O，C，B，D四点共圆（外角等于内对角，四点共圆）【我暂时没想出其它低级办法】

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCE

∴∠ODC=∠OBC

∴∠ODC=∠BDE

∵∠BDC=62°

∴BDE=（180°-∠BDC）÷2=59°

则∠OEC=180°-∠DBE-∠BDE=13°

追问

　　请问 “∴∠ODC=∠OBC”是怎么得出来的呢

追答

四点共圆，∠ODC=∠OBC同弦OC，类似于同弧所对的圆周角相等