Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，满足S n =2a n -n（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（2n+1）（

已知数列{a n }的前n项和为S n ，满足S n =2a n -n（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（2n+1）（a n +1），求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵S n =2a n -n 当n=1时，a 1 =S 1 =2a 1 -1，∴a 1 =1 当n≥2时，S n =2a n -n   ① S n-1 =2a n-1 -n+1        ② ①-②得a n =2a n-1 +1即a n +1=2（a n-1 +1） ∵a 1 +1=2≠0∴a n-1 +1≠0 ∴ a n +1 a n-1 +1 =2 ∴{a n +1}是以首项为2，公比为2的等比数列 a n +1=2?2 n-1 =2 n ∴a n =2 n -1 （2）b n =（2n+1）?2 n T n =3?2+5?2 2 +7?2 3 +…+（2n-1）?2 n-1 +（2n+1）?2 n ， 2T n =3?2 2 +5?2 3 +7?2 4 +…+（2n-1）?2 n +（2n+1）?2 n+1 ， ∴-T n =6+2（2 2 +2 3 +2 4 +…+2 n ）-（2n+1）?2 n+1 ， ∴T n =2+（2n-1）?2 n+1 ．