观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离:4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答问题:(1)所得距离与这两
观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离:4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答问题:(1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是______;(2)若数轴上的点A表...
观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离:4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答问题:(1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是______;(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为-1则A与B两点间的距离可以表示为______;(3)结合数轴可得|x-2|+|x+3|的最小值为______;(4)若关于x的方程|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解,则a的取值范围是______.
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(1)由观察可知:所得距离与这两个数的差的绝对值相等;
(2)结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论.
当x<-1时,距离为-x-1,
当-1<x<0时,距离为x+1,
当x>0,距离为x+1.综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|;
(3)当x<-3时,|x-2|+|x+3|=2-x-(3+x)=-2x-1,此时最小值大于5;
当-3≤x≤2时,|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5;
当x>2时,|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1,此时最小值大于5;
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2;
(4)先求f(x)=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域:
当x≥5时,f(x)=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10,
当1≤x<5时,f(x)=x-1+x+1+5-x=x+5,此时值域为[6,10),
当-1≤x<1时,f(x)=1-x+x+1+5-x=7-x,此时值域为(6,8],
当x<-1时,f(x)=1-x-x-1+5-x=5-3x>8,此时值域为(8,+∞),
所以f(x)的值域为:f(x)≥6.
即:|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6,
因为|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解,
所以a<6.
故答案为:(1)相等;(2)|x+1|;(3)5;(4)a<6.
(2)结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论.
当x<-1时,距离为-x-1,
当-1<x<0时,距离为x+1,
当x>0,距离为x+1.综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|;
(3)当x<-3时,|x-2|+|x+3|=2-x-(3+x)=-2x-1,此时最小值大于5;
当-3≤x≤2时,|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5;
当x>2时,|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1,此时最小值大于5;
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2;
(4)先求f(x)=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域:
当x≥5时,f(x)=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10,
当1≤x<5时,f(x)=x-1+x+1+5-x=x+5,此时值域为[6,10),
当-1≤x<1时,f(x)=1-x+x+1+5-x=7-x,此时值域为(6,8],
当x<-1时,f(x)=1-x-x-1+5-x=5-3x>8,此时值域为(8,+∞),
所以f(x)的值域为:f(x)≥6.
即:|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6,
因为|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解,
所以a<6.
故答案为:(1)相等;(2)|x+1|;(3)5;(4)a<6.
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