Question

高数幂级数的题，请问划红问号的地方，是利用什么方法求的收敛域呢？比值法？可是这是交错级数啊，而且为

高数幂级数的题，请问划红问号的地方，是利用什么方法求的收敛域呢？比值法？可是这是交错级数啊，而且为什么极限里还有x呢？不是应该考察n吗？谢谢

Answer 1

幂级数收敛域内部是绝对收敛的，大于收敛半径的部分一般项不趋于0，（无穷），交错与否没影响。只有在等于收敛半径的端点位置，需要单独讨论一下是否收敛，交错与否就有意义了。
至于说有x，那是肯定的啊，x不同，就是不同的级数了，在x确定的情况下，讨论这个x的级数收敛性时才讨论n，仔细思考一下，这样才能确定x在那个范围之内时，比值是小于1的，才计算出来收敛半径的，不然的话要是与x无关的话，那就是对所有x收敛或发散了。

追问

大神，这是用比值法判定的吧？那么为什么不是n趋于无穷大的极限，而是x趋于无穷大呢？谢谢您

而且正常不是只考虑系数的比值的极限吗？为什么这个还有x呢？

追答

比值判断也是计算收敛半径的一种方法而已。这是幂级数，属于函数项级数，每一项都是一个函数fn(x)，自变量是同一个自变量x，自变量取定x0之后就是一个平常级数Σfn(x0)了，收敛半径其实就是求这些x取哪些范围的值时，这些级数是收敛的。自己再仔细想想，这个过程中从来没有x趋于什么无穷吧。至于你说的平常只考率其系数不带x，那个方法就是这么推出来的，不带x的算出的比值可以直接用来确定半径，这个带着x就可以直接算出x的范围了，没有本质差别，结合课本自己再想想，从思想上理解，才能不拘于这些形式。