已知λ∈R，函数f（x）=lnx-λ(x?1)x+λ?1，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ
已知λ∈R，函数f（x）=lnx-λ(x?1)x+λ?1，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点Pn（n，lnn）...
已知λ∈R，函数f（x）=lnx-λ(x?1)x+λ?1，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点Pn（n，lnn）（n∈N*），记线段PnPn+1的斜率为kn，Sn=1k1+1k2+…+1kn．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）Sn＜n(n+2)2； （ⅱ）Sn＞n(3n+5)6．
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（Ⅰ）λ=2时，f(x)＝lnx?
(x≥1)，
求导可得f′(x)＝
?
＝
≥0…（3分）
所以，f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是f（1）=0．…（5分）
（Ⅱ）依题意，kn＝
＝ln(1+
)． …（6分）
（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x＞1时f（x）＞0，即lnx＞
．
于是 ln(1+
)＞
＝
，即知
＜
．…（8分）
所以 Sn＝
＜
＝
． …（9分）
（ⅱ）取λ=3，则f(x)＝lnx?
(x≥1)，
求导可得f′(x)＝
?
＝
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．
所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即lnx＜
．…（12分）
注意到，对任意正整数n，1+
∈(1，2]，于是kn＝ln(1+
| 2(x?1) |
| x+1 |
求导可得f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 2(x+1)?2(x?1) |
| (x+1)2 |
| (x?1)2 |
| x(x+1)2 |
所以，f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是f（1）=0．…（5分）
（Ⅱ）依题意，kn＝
| ln(n+1)?lnn |
| n+1?n |
| 1 |
| n |
（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x＞1时f（x）＞0，即lnx＞
| 2(x?1) |
| x+1 |
于是 ln(1+
| 1 |
| n |
2(1+
| ||
1+
|
| 2 |
| 2n+1 |
| 1 |
| kn |
| 2n+1 |
| 2 |
所以 Sn＝
| n |
 |
| i＝1 |
| 1 |
| ki |
| n |
|
| i＝1 |
| 2i+1 |
| 2 |
| n(n+2) |
| 2 |
（ⅱ）取λ=3，则f(x)＝lnx?
| 3(x?1) |
| x+2 |
求导可得f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 3(x+2)?3(x?1) |
| (x+2)2 |
| (x?1)(x?4) |
| x(x+2)2 |
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．
所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即lnx＜
| 3(x?1) |
| x+2 |
注意到，对任意正整数n，1+
| 1 |
| n |
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