Question

（2014?长安区三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，

（2014?长安区三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）设AB=a，求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

解答：解：（1）取AB中点O，连接CO，DO
∵DO∥AA1，DO＝

1

2

AA1，∴DO∥CE，DO=CE，
∴平行四边形DOCE，∴DE∥CO，DE?平面ABC，CO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（2）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴面ABC⊥面BB₁C₁C，∴AF⊥面C₁B，∴AF⊥B₁F
设AB=AA₁=1，∴B1F＝

6

2

，EF＝

3

2

，B1E＝

3

2

，∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥面AEF．（8分）
（3）由于点D是线段AB₁的中点，故点D到平面AEF的距离是点B₁到平面AEF距离的

1

2

．B1F＝

a2+( 2 2 a)2

＝

6

2

a，所以三棱锥D-AEF的高为

6

4

a；在Rt△AEF中，EF＝

3

2

a，AF＝

2

2

a，所以三棱锥D-AEF的底面面积为

6

8

a2，故三棱锥D-AEF的体积为

1

3

×

6

8

a2×

6

4

a＝

1

16

a3．（12分）