Question

（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB ∥ CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的

（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB ∥ CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB= 1 2 ∠BCD，∠EAD=∠EAB= 1 2 ∠BAD， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB， ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E， ∴∠E= 1 2 （∠D+∠B）， ∵∠ADC=40°，∠ABC=30°， ∴∠AEC= 1 2 ×（40°+30°）=35°； （2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB= 1 2 ∠BCD，∠EAD=∠EAB= 1 2 ∠BAD， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB， ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E， ∴∠E= 1 2 （∠D+∠B）， ∵∠ADC=m°，∠ABC=n°， ∴∠AEC= m°+n° 2 ； （3）延长BC交AD于点F， ∵∠BFD=∠B+∠BAD， ∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D， ∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB= 1 2 ∠BCD，∠EAD=∠EAB= 1 2 ∠BAD， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB， ∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE- 1 2 ∠BCD=∠B+∠BAE- 1 2 （∠B+∠BAD+∠D）= 1 2 （∠B-∠D）， 即∠AEC= ∠ABC-∠ADC 2 ．