Question

已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x

已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

x≥2 x+1+x?2＞5

，或

1≤x＜2 x+1?x+2＞5

，或

x＜1 ?x?1?x+2＞5

，
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（3，+∞）；
（2）不等式f（x）≥1即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|＞m+2解集是R，
∴m+2＜3，m的取值范围是（-∞，1）．
故答案为（-∞，1）．