Question

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠B

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图1，当点D在线段BC上时，则α，β之间有怎样的数量关系？写出证明过程；②当点D在线段CB的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）①α+β=180° 理由：∵△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠ACE， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B， ∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠BCE=180°， 即α+β=180°； ②当点D在线段CB的延长线上时，α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE， 即α=β．