Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠CAB的角平分线分别交BC、CD于点E、F；过点E作EG⊥AB，垂

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠CAB的角平分线分别交BC、CD于点E、F；过点E作EG⊥AB，垂足为G．（1）求证：CF=CE；（2）求证：CE：BE=AC：AB；（3）若AB=10，AC=6，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EG⊥AB
∴EG=CE
∴△ACE≌△AGE
∴∠AEC=∠AEG
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EG
∴∠GEF=∠CFE
∴∠CEF=∠CFE
∴CF=CE

（2）证明：∵∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B
∴△ACB∽△EGB
∴AC：AB=EG：EB
∵EG=CE
∴CE：BE=AC：AB 

（3）解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴CB=8
∵EC：EB=AC：AB=3：5
∴EC=3
∴CF=EC=3．