Question

（2013?闵行区三模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形．过点E作EF∥BC

（2013?闵行区三模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB、AC、AD相交于点F、G、H，联结CE．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）如果AD⊥BC，求证：BC=2FG．

Answer 1

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．
同理可知，AD=AE，∠DAE=60°．
即得∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即得∠BAD=∠CAE．
∴在△BAD和△CAE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠B=∠ACE=60°．
∴∠ACE=∠BAC．
∴BF∥CE．
又∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
又∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．
又∵△ADE是等边三角形，
∴EA=ED．
∴AH=DH．
∵EF∥BC，∴

AF

FB

＝

AH

DH

＝1．
∴AF=BF，
同理可得  AG=CG．
∴BC=2FG．