如图①所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.(1)求
如图①所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)在抛物线的...
如图①所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由(3)如图②所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
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(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2),
∴c=2;
又∵tan∠OAC=
=2,
∴OA=1,即A(1,0);
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上,
∴0=12+b×1+2,b=-3;
∴抛物线对应的二次简烂函数的解析式为y=x2-3x+2;
(2)存在.
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-
=拦扰漏?
=
;
∴AE=OE-OA=
-1=
,
∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE=tan∠CPD,
∴
=
,即
=
,
解得PE=
或PE=
,
∴点P的坐标为(
,
)或(
,
).(备注:可以用勾股定理或相似解答)
(3)如图所示,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点,
∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2),
∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t,
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=
MN?t+
MN?(2-t),
=
MN?(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2),
∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1,
∴当t=1时,S△BCN的最大值为1.
备注:如果李卜没有考虑取值范围,可以不扣分.
∴c=2;
又∵tan∠OAC=
OC |
OA |
∴OA=1,即A(1,0);
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上,
∴0=12+b×1+2,b=-3;
∴抛物线对应的二次简烂函数的解析式为y=x2-3x+2;
(2)存在.
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-
b |
2a |
?3 |
2×1 |
3 |
2 |
∴AE=OE-OA=
3 |
2 |
1 |
2 |
∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE=tan∠CPD,
∴
PE |
EA |
CD |
DP |
PE | ||
|
| ||
2?PE |
解得PE=
1 |
2 |
3 |
2 |
∴点P的坐标为(
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
(3)如图所示,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点,
∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2),
∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t,
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1,
∴当t=1时,S△BCN的最大值为1.
备注:如果李卜没有考虑取值范围,可以不扣分.
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