Question

微积分，题如图，求渐近线(有两条)

Answer 1

第一条，当x->0时，f(x)->无穷，x=0是垂直淅近线。

又设淅近线为y=kx+b
设x/(1-x)=t t-tx=x x=t/(1+t) x->无穷大时，t->-1 1+x=(2t+1)/(t+1)
f(x)=(2t+1)/[(t+1)(1-e^t)]
f(x)/x=(2t+1)/[(t+1)(1-e^t)] * (t+1)/t=(2t+1)/[t-te^t]
故：limf(x)/x x->无穷
=lim(2t+1)/[t-te^t] t->-1
=lim(-1)/(-1+1/e)
=-e/(-e+1)
=e/(e-1)
limf(x)-kx]=lim(2t+1)/[(t+1)(1-e^t)]-kt/(1+t)
=lim[2t+1-kt(1-e^t)]/[(t+1)(1-e^t)]
t->-1时，分子->-2+1+k(1-1/e)=-1+1/(1/e-1) *(1-1/e)=0
分母->0
分子分母同时求导：
=lim[2-k+ke^t+kte^t]/[1-e^t-e^t-te^t]
分子=2+k[(e^t)-1]+kte^t t->-1
=2+k[1/e-1]-k/e
=2-k=2-e/(e-1)=(2e-2-e)/(e-1)=(e-2)/(e-1)
分母=1-2/e+1/e=1-1/e=(e-1)/e
b=[(e-2)/(e-1)]/[(e-1)/e]
=(e^2-2e)/(e-1)^2
故另外一条斜渐近线为：
y=ex/(e-1)+(e^2-2e)/(e-1)^2
自已算一下！