Question

林林分析一串数,这串数是:1,1,1,2,3,5,813,21…到这串数的第1000个为止有多

Answer 1

这串数的第一个数字应该是0吧？

这是斐波那契数列，
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
这是一个线性递推数列。
解：设常数r，s。

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

则r+s=1， -rs=1。

n≥3时，有。

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。

……

F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。

联立以上n-2个式子，得：

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。

∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。

那么：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。

（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。

=(s^n - r^n)/(s-r）。

r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。

则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。