Question

高等代数二次型，好难

Answer 1

1. 对于实二次型x^TAx，有不等式x^TAx<=λx^Tx，其中λ表示A的最大特征值（证明可以用谱分解或者Lagrange乘子法）

   把a_i和b_i分别看成列向量a和b的分量（a=[a_1,...,a_n]^T, b=[b_1,...,b_n]^T）
   

   Cauchy不等式的左端等于b^Taa^Tb，右端等于a^Tab^Tb

   然后令A=aa^T, x=b，A是对称半正定阵，最多只有一个零特征值（即为A的最大特征值），该特征值等于trace(A)=aa^T

   套用之前的不等式就得到Cauchy不等式

2. det(AA^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2>=0
   

Answer 2

Answer 3

这两个证明都是很简单的

追问

证出来，过程

追答

明天吧