Question

设a，b，c属于R+，a^2+b^2+c^2=1,求1/a^2+1/b^2+1/c^2-2(a^3+b^3+c^3)/a*b*c的最小值

Answer 1

很简单
由于a²+b²+c²=1
则1/a²+1/b²+1/c²-2(a^3+b^3+c^3)/abc
=(a²+b²+c²)/a²+(a²+b²+c²)/b²+(a²+b²+c²)/c²-2(a²/bc+b²/ac+c²/ab)
=3+(a²/b²-2a²/bc+a²/c²)+(b²/c²-2b²/ac+b²/a²)+(c²/a²-2c²/ab+c²/b²)
=3+(a/b-a/c)²+(b/c-b/a)²+(c/a-c/b)²
≥3
当且仅当a=b=c的时候取等号，由于a,b,c∈∈(0,+∞)
故由a²+b²+c²=1 当a=b=c=√3/3的时候
1/a²+1/b²+1/c²-2(a^3+b^3+c^3)/abc有最小值3