Question

求助Matlab关于解一个二阶偏微分方程

Answer 1

求解一阶ODE的代码是很直接的。然而，二阶或者三阶的ODE不能够直接应用求解。你必须先将高阶的ODE改写成一阶的ODEs系统，使得它可以采用MATLAB ODE求解器。
这是一个如何将二阶微分方程改写成两个一阶微分方程以便利用MATLAB的诸如ODE45等求解器求解的例子。下面的方程组包含了一个一阶与一个二阶微分方程：
x'= - y*exp（-t/5）+y' * exp（-t/5）+1； （1）
y''= -2*sin（t）； （2）
第一步是引入一个新的变量，使得它等于具有二阶导数的自由变量的一阶导数：
z=y' （3）
对上式两边求导如下：
z' = y'' ； （4）
将（4）式带入（2）式得到如下方程：
z'= -2*sin（t） （5）
联立（1），（3）与（5）得到三个一阶微分方程：
x'= - y*exp（-t/5）+y' * exp（-t/5）+1; (1)
z=y'; （3）
z'= -2*sin（t） （5）
既然 z＝y' ，用z代替等式（1）中的y' 。而且，因为MATLAB要求所有的导数项在左边，改写等式（3）。得到如下的方程组：
x'= - y*exp（-t/5）+z* exp（-t/5）+1; (1a)
y'=z ; (6a)
z'= -2*sin（t）； （5a）
为了利用ODE45或者是MATLAB的其他的ODE求解器求解上面的方程组，需要建立一个包含这些微分方程的函数。这个函数需要两个输入：状态量与时间，返回状态的微分，建立命名为odetest.m的函数如下：
function xprime=odetest(t, x)
% 既然状态量以单个向量的形式输入，我们令：
％ x（1）＝x；
％ x（2）＝y；
％ x（3）＝z；

xprime（1）＝－x（2）* exp（－t/5）＋x（3）*exp(-t/5)+1；
％ x'= - y*exp（-t/5）+z* exp（-t/5）+1;

xprime（2）＝－x（3）；
％ y'=z

xprime（3）＝－2×sin（t）；
％ z'= -2*sin（t）

xprime＝xprime（：）；
％ 这是为了确保返回的是个列向量

采用ODE23或者另外的MATLAB ODE求解器求解方程系统，定义起始和停止时间以及初识的状态向量。例如：
t0 = 5 ; % 起始时间
tf = 20 ; ％ 停止时间
x0 = [1 –1 3] ; ％ 初识条件
[t , s] = ode23 ( @odetest, [t0 ,tf ], x0) ;
x = s (: , 1 );
y = s (: , 2 );
z = s (: , 3 );

Answer 2

引用信玄居士的回答：
求解一阶ODE的代码是很直接的。然而，二阶或者三阶的ODE不能够直接应用求解。你必须先将高阶的ODE改写成一阶的ODEs系统，使得它可以采用MATLAB ODE求解器。
这是一个如何将二阶微分方程改写成两个一阶微分方程以便利用MATLAB的诸如ODE45等求解器求解的例子。下面的方程组包含了一个一阶与一个二阶微分方程：
x'= - y*exp（-t/5）+y' * exp（-t/5）+1； （1）
y''= -2*sin（t）； （2）
第一步是引入一个新的变量，使得它等于具有二阶导数的自由变量的一阶导数：
z=y' （3）
对上式两边求导如下：
z' = y'' ； （4）
将（4）式带入（2）式得到如下方程：
z'= -2*sin（t） （5）
联立（1），（3）与（5）得到三个一阶微分方程：
x'= - y*exp（-t/5）+y' * exp（-t/5）+1; (1)
z=y'; （3）
z'= -2*sin（t） （5）
既然 z＝y' ，用z代替等式（1）中的y' 。而且，因为MATLAB要求所有的导数项在左边，改写等式（3）。得到如下的方程组：
x'= - y*exp（-t/5）+z* exp（-t/5）+1; (1a)
y'=z ; (6a)
z'= -2*sin（t）； （5a）
为了利用ODE45或者是MATLAB的其他的ODE求解器求解上面的方程组，需要建立一个包含这些微分方程的函数。这个函数需要两个输入：状态量与时间，返回状态的微分，建立命名为odetest.m的函数如下：
function xprime=odetest(t, x)
% 既然状态量以单个向量的形式输入，我们令：
％ x（1）＝x；
％ x（2）＝y；
％ x（3）＝z；

xprime（1）＝－x（2）* exp（－t/5）＋x（3）*exp(-t/5)+1；
％ x'= - y*exp（-t/5）+z* exp（-t/5）+1;

xprime（2）＝－x（3）；
％ y'=z

xprime（3）＝－2×sin（t）；
％ z'= -2*sin（t）

xprime＝xprime（：）；
％ 这是为了确保返回的是个列向量

采用ODE23或者另外的MATLAB ODE求解器求解方程系统，定义起始和停止时间以及初识的状态向量。例如：
t0 = 5 ; % 起始时间
tf = 20 ; ％ 停止时间
x0 = [1 –1 3] ; ％ 初识条件
[t , s] = ode23 ( @odetest, [t0 ,tf ], x0) ;
x = s (: , 1 );
y = s (: , 2 );
z = s (: , 3 );

ODE是求解常微分方程的，非偏微分