Question

设P为椭圆,X2/25 Y2/9=1上一点,F1,F2分别在左右焦点,角F1F2=60度,求三角形F1pF2的面积以及P的坐标!

Answer 1

角F1F2=60?应该是∠F1PF2=60°
由题意可知椭圆的焦点在x轴上,且a=5,b=3,c=4
则焦距|F1F2|=2c=8
又点P是该椭圆上一点,则由椭圆的定义可知：
|MF1|+|MF2|=2a=10
因为∠F1PF2=60°,所以：
在△PF1F2中,由余弦困基腔定理有：
|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2cos(∠F1PF2)*|PF1|*|PF2|
则64=|PF1|²+|PF2|²-2*(1/2)*|PF1|*|PF2|
即(|PF1|+|PF2|)²-3|PF1|*|PF2|=64
3|PF1|*|PF2|=100-64=36
解得|PF1|*|PF2|=36/3
所以锋运三角形PF1F2的面积是：
S=(1/2)*|PF1|*|PF2*sin∠F1PF2
＝(1/2)*(36/3)*(√3)/2
=3√3
又设点P坐标为(m,n),则可知点P到x轴的距离为|n|
而三角形PF1F2的面积S=(1/2)*|n|*|F1F2|=3√汪衫3
则(1/2)*|n|*8=3√3
解得|n|=3√3/4
因为点P在椭圆上,所以将点P坐标代入椭圆方程可得：
m²/25 +(3√3/4)²/9=1
即m²/25=13/16
解得|m|=5√13/4
所以点P的坐标为(5√13/4,3√3/4)或(5√13/4,－3√3/4)或(－5√13/4,3√3/4)或(－5√13/4,－3√3/4)