Question

高等数学，请问图中的题怎么做？ (请用拉格朗日乘数法，谢了)

Answer 1

令a=a1a2...an, 再令t1=1/a1, t2=1/a2,..., tn=1/an.
设f(t1,...,tn)=t1+t2+...+tn, g(t1,...,tn)=t1t2...tn-1/a,
则 考虑 F(t1,...,tn,x)=f(t1,...,tn)+xg(t1,...,tn).
对F(t1,...,tn,x)的n+1个变量求偏导，并令其等于0，可得n+1个方程构成的方程组。
解这个方程组可得t1=t2=...tn=(1/a)^{1/n}, 从而a1=a2=...=an=a^{1/n}.

Answer 2

条件极值问题
设Xi＞0,对任意i∈(1,2,3,.......n)
已知X1X2......Xn=a
求1/X1+1/X2+......+1/Xn最小值
构造F(x)=1/X1+1/X2+......+1/Xn +t(X1X2......Xn-a)
分别对Xi求导i∈(1,2,3,.......n)
由FXi'(x)=-1/Xi^2+tX1X2....Xi-1*Xi+1.....Xn
令偏导数为0
有tX1X2....Xi-1*Xi+1.....Xn=1/Xi^2
同时乘以Xi
左边就是t*a=右边1/Xi 对任意i∈(1,2,3,.......n)均成立
所以显然有Xi均相等
所以Xi=a^1/n
倒数之和最小为n/a^1/n