Question

如何求反函数的定义域

Answer 1

找到一个单调区间，此区间即是烦函数的定义域。

把函数看作方程： y=f(x)

解方程，求出x用y标识的表达式，x=f^(-1)(y)

将x,y互换即得反函数表达式： y=f^(-1)(x)

例如：求 y=3x+5的反函数，函数在（-∞， +∞）内单调，值域为：（-∞， +∞）

∴ 所以反函数的定义域为：（-∞， +∞），值域为：（-∞， +∞）

由 y=3x+5 解得：x=1/3*y-5/3

∴ 反函数为： y=1/3*x-5/3 x∈（-∞， +∞）

例如 y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

扩展资料：

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

参考资料：百度百科---反函数

Answer 2

实际上，求函数定义域与求它的反函数定义域，从方法上讲是一样的。因为反函数也是“函数“。
如果已知，或者可以求得原函数值域，那么反函数的定义域就是原函数的值域。因为两个互为反函数的函数定义域与值域互换。
否则，直接求反函数定义域。

Answer 3

f(x)的定义域就是f^(-1)(x)的值域，f(x)的值域就是f^(-1)(x)的定义域