Question

一道高一的数学题目.

已知函数f(x)定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0且f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1).
(2)证明f(x)在定义域上是增函数.
(3)如果f(1/3)=-1,求满足不等式f(x)-f(1/x-2)≥2的x的取值范围.

Answer 1

1,
令x=y=1
f(1)=2f(1)
f(1)=0
2,
令y=1/x,则f(x/x)=f(x)+f(1/x)=0
f(1/x)=-f(x)
f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)

设x1,x2属于(0,+∞),且x1<x2
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
因为x2/x1>1,又当x>1时,f(x)>0
所以f(x2/x1)>0
即f(x2)>f(x1)
f(x)在定义域上是增函数
3.
f(1/3)=-1
f(1)-f(3)=0-f(3)=-1
f(3)=1
f(9)=f(3)+f(3)=2
f(x)-f(1/x-2)≥2改为f(x)-f(1/x-2
其中x>0,1/x-2>0,所以x>2
f((x(x-2))≥f(9)
x(x-2)≥9
x≥1+根号10

Answer 2

(1)
x=y=1
得
f(1)=0
(2)
任取0<a<b
令x=a,y=b/a>1
f(b/a)>0
f(xy)=f(b)=f(a)+f(b/a)>f(a)
f(x)在定义域上是增函数.
(2)
f(1)=f(x)+f(1/x)=0
f(x)-f(1/x-2)=f(x)+f(x-2)=f(x(x-2))>=2
f(9)=2f(3)=-2f(1/3)=2
=>
f(x(x-2))>=f(9)
=>
x(x-2)>=9
且x-2>0
x>1+10^1/2

Answer 3

这不是抽象函数的问题吗？
这是一个对数函数的抽象化。用抽象函数的观点来做！

Answer 4

当x>1时,f(x)>0且f(xy)=f(x)+f(y).
楼上的看清楚