Question

已知关于x的方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0.

已知关于x的方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0.
（1）求证,无论k取何值,这个方程总有实数根
(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数?若能找到,求出k的值;若不能,说明理由
(3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b,c恰好是这个方程的两根时,求三角形ABC的周长

Answer 1

（1） Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)
=(2k-3)^2
≥0
所以无论k取何值,这个方程总有实数根
(2)两实数x1,x2互为相反数
则x1+x2=0
韦达定理：x1+x2=-[-(2k+1)]=2k+1=0
k=-1/2
(3)等腰三角形ABC的边长a=4
若b=a=4或c=a=4
代入方程：16－4（2k+1）+4(k-1/2)=0
解得：k=5/2
方程为x^2－6x+8=0.
解得c=2或b=2
三角形ABC的周长=4+4+2=10
若b=c
方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0有两相等的实数根b,c
Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)＝0
解得：k=3/2
方程为x^2－4x+4=0
解得b=c=2
三角形ABC的周长=4+2+2=8

Answer 2

分析：（1）先求出△，变形为△=（2k-3）2，得到△≥0，根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式先求出方程的两根x1=2，x2=2k-1，然后分类推论：当以2为腰或当以2为底，分别求出三角形的周长，再利用三角形的三边关系分别得到k的取值范围．
解答：解：（1）∵△=（2k+1）2-4×4（k-12）
=4k2+4k+1-16k+8
=4k2-12k+9
=（2k-3）2，
∵（2k-3）2，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
（2）∵x=2k+1±(2k-3)2
∴x1=2，x2=2k-1，
①当以2为腰，2k-1为底，则三角形的周长为2k+3；
当以2为底，2k-1为腰时，三角形的周长为4k．
②当以2为腰，2k-1为底时，12＜k＜k2；
当以2为底，2k-1为腰时，k＞1．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了代数式的变形、一元二次方程的解法和分类讨论的思想的运用以及三角形三边的关系．

Answer 3

（1） Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)
=(2k-3)^2
≥0
所以无论k取何值,这个方程总有实数根
(2)两实数x1,x2互为相反数
则x1+x2=0
韦达定理：x1+x2=-[-(2k+1)]=2k+1=0
k=-1/2
(3)等腰三角形ABC的边长a=4
若b=a=4或c=a=4
代入方程：16－4（2k+1）+4(k-1/2)=0
解得：k=5/2
方程为x^2－6x+8=0.
解得c=2或b=2
三角形ABC的周长=4+4+2=10
若b=c
方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0有两相等的实数根b,c
Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)＝0
解得：k=3/2
方程为x^2－4x+4=0
解得b=c=2
三角形ABC的周长=4+2+2=8

Answer 4

当a为底边时
b=c
判别式=（2k+1）²-16（k-1/2）=0
4k²+4k+1-16k+8=0
4k²-12k+9=0
（2k-3）²=0
k=3/2
那么b+c=2k+1=3+1=4
（韦达定理）
所以周长为a+4=8
当a为腰长时
b+c=2k+1
a=b或c
代入方程
a²-（2k+1）a+（4k-2）=0
a²-2ka-a+4k-2=0
（2a-4）k=a²-a-2
2（a-2）k=（a-2）（a+1）
2k=a+1
k=（a+1）/2
b+c=2k+1=a+1+1=a+2
周长=a+a+2=2a+2=10
仅供参考

Answer 5

答案三不等于8