怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式？
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。具体表述为：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。用公式表达即：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
扩展资料：
由于立方项不好拆分，但是我们学过，遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并
证得：
高级证明
因为
所以根据交换律法则：
证得：
(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³
分解步骤如下：
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3
解题时常用它的变形：
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³
参考资料：百度百科——立方差公式
简单计算一下即可，答案如图所示
利用立方等差公式、各等式相加
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3[前后消项]=[n(n+1)(n+2)]/3所1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
数学归纳法.2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
应用(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得系列等式[(n-1)+1]^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1[n-2)+1]^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1以上各式两边分别求和即可得结论16*n(n+1)(2n+1)
证明：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
n^3-1^3
=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
立方差公式：
证明方法：
遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并。
n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)
解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)
相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
