Question

f(x,y)=x^2+(y-1)acsin √ y/x, 求f（2,1）处的偏导数

Answer 1

此为条件极值问题，
高数一般用拉格朗日乘数法求解;
但也可以用更简洁的初等数学方法求解:

依约束条件式知，可设
x-y=cosθ，y=(√3/3)sinθ.
即x=cosθ+(√3/3)sinθ，y=(√3/3)sinθ.
∴f(x,y)=6xy
=6[cosθ+(√3/3)sinθ]·(√3/3)sinθ
=2√3sinθcosθ+2sin²θ
=√3sin2θ+(1-cos2θ)
=1+2sin(2θ-π/6).
sin(2θ-π/6)=1，即θ=2kπ+π/3时，
所求最大值为f(x,y)|max=3，
此时，x=1，y=1/2;
sin(2θ-π/6)=-1，即θ=kπ-π/6时，
所求最小值为f(x,y)|min=-1，
此时，x=√3/3，y=-√3/6。

Answer 2

f(x,y) = x^2+(y-1)arcsin√(y/x)
∂f/∂x = 2x + (y-1)/√[1-(y/x)^2](-y/x^2)
= 2x - y(y-1)/[x√(x^2-y^2)]
∂f/∂y = arcsin√(y/x) + (y-1)/√[1-(y/x)^2](1/x)
= arcsin√(y/x) + (y-1)/√(x^2-y^2)
在 f(2,1) 处，∂f/∂x = 4， ∂f/∂y = π/6