Question

已知实数a，b，c，d互不相等，且a+（1/b）=b+（1/c）=c+（1/d）=d+（1/a）=x，试求x的值.

Answer 1

解：

由a+1/b＝x，
1/b=x-a
得b＝1/(x－a)。
代入 b+1/c＝x，
1/(x-a)+1/c=x
1/c=x-1/(x-a)
得：c＝(x－a)/(x^2－ax－1)。
再代入 c+1/d＝x，
(x－a)/(x^2－ax－1)+1/d=x
d(x-a)+x^2－ax－1=xd(x^2－ax－1)
整理，得：dx^3－(ad+1)x^2+(a－2d)x+(ad+1)＝0......（1）
又d+1/a＝x，
所以 ad+1＝ax，
代入（1），得：
(d－a)x^3+2(a－d)x＝0。
∵a≠d，
∴x^3－2x＝0。
x(x+√2)(x-√2)=0
若x＝0，则ab＝bc＝cd＝ad＝－1，
所以a＝c，b＝d，
与已知条件矛盾。
∴x＝±√2。

Answer 2

证明：b=1/(x-a) ， 代入 b+1/c =x 得：
c=(x-a)/(x^2-ax-1)
代入 c+1/d=x 得 (x-a)/(x^2-ax-1) +1/d =x
整理得 dx^3-(ad+1)x^2+(a-2d)x+(ad+1)=0
由 d+ 1/a=x，所以 ad+1=ax 所以 (d-a)x^3+(a-2d)x+ax=0
所以 (d-a)x^3+2(a-d)x=0
因为a≠d 所以 x^3-2x=0
所以 x = 0 或 √2 或 -√2
当x=0时，ab=bc=cd=ad=-1 则有 a=c，b=d，与题意不符
综上所述， x = ±√2