Question

式子1²+2²+3²+……+n²=1/2(5n²-7n+4)，对于n=1,2,3成立吗？

式子1²+2²+3²+……+n²=1/2(5n²-7n+4)，对于n=1,2,3成立吗？这个式子是否对一切自然数都成立？
如题！急急急啊！！

Answer 1

当n=1，2，3时是成立的，但是对于一切自然数成立成立是错误的。用归纳法证明如下：
证明：
当n=1时该等式显然成立。
假设该等式对N成立，即1²+2²+3²+……+N²=(5N²-7N+4)/2成立
则当n=N+1时，有
1²+2²+3²+……+(N+1)²
=(1²+2²+3²+……+N²)+2N+1
=(5N²-7N+4)/2+2N+1
=(5N²-7N+4+4N+2)/2
=(5N²-3N+6)/2
≠[5(N+1)²-3(N+1)+6]/2
因此，它对于除1，2，3之外的一切自然数不成立，当且仅当n=1，2，3时才成立。