Question

高中数学已知函数f(x)=lnx-（ax^2）/2+(a-1)x，其中实数 |a|<2，且a≠0

Answer 1

根据拉格朗日中值定理
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=f’(b1)
(b1∈(x1,x2))
x1,x2∈[1,2]
b1∈(x1,x2)∈(1,2)
若f’(x)在(0,1)的值域包含f’(x)在(1,2)的值
则必有b2使f’(b2)=f’(b1)
f’(x)=1/x-ax+a-1
f’(0)=∞
f’(1)=0
f’(2)=-1/2-a
f’’(x)=-1/x^2-a
令f’’(x)=0
-1/x^2-a=0
x^2=-1/a
a>0
f’’(x)=0无解
即f’(x)为单调函数
f’(1)<f’(0)f’(x)为单减函数
f’(2)<f’(1)=0
不在[f(0)，f(1)]上
a不能取a>0
a<0
f’’(x)=0
-1/x^2-a=0
1/x^2=-a
x^2=-1/a
x=√(-1/a)
1<x<√2
f’’’(x)=2/x^3>0
有极小值
f’(√(-1/a))=1/√(-1/a)-a√(-1/a)+a-1
2√(-a)-(√(-a))^2-1≥0
(√(-a)-1)≤0
√(-a)≤1
-a≤1
a≥-1
实数a的取值a=1