Question

为什么行列式不等于零，AX=0有唯一零解？AX=b有唯一解？

Answer 1

对于方程组AX=0，显然有零解，
如果|A|不为0，则A可逆，等式两边同时左乘A逆，得到
X=0，即只有零解。
如果|A|=0，则系数矩阵不是满秩的，也就是说方程组中有些方程是多余的。（可以初等行变换，化为0）
从而有无穷多的解（可以通过基础解系来表示）。
对于方程组AX=b，原理类似，
如果|A|不为0，则A可逆，等式两边同时左乘A逆，得到：X=A逆b，即只有唯一解。
如果|A|=0，就要分两种情况来讨论：
1）r(A)
=r(A|b)
此时有无穷多组解；
2）r(A)不等于r(A|b)
此时方程组无解。
扩展资料：
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在
n
维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
性质：
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作D=|A|=detA=det(aij)。
若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足1≤i1<i2<...<ik≤n(1)
i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有
个子列。
因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集，C(n,k)的元素记作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示σ={i1,i2,...,ik}是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。
参考资料：搜狗百科--行列式