Question

已知空间四边形ABCD中，EF分别是AB,BC的中点，H,G分别是AD,CD上的点，且CG/CD=AH/AD=1/3

求证1.EFGH四点共面 2.三条直线EH,FG,BD交于一点

Answer 1

做辅助线：连接AC

由条件可知：EF//AC  HG//AC

则EF//HG

所以，EFHG是在同一平面内

而，在△ABD中，E是AB的中点，但H不是AD的中点，所以，EH肯定不平行于BD

则EH肯定与BD相交于一点

同理，BD肯定与FG相交于一点

而EF，HG又在同一平面内，也就是说，BD与EH，FG所确定的平面相交于一点

一直线与一平面相交，有且只有一个交点

所以，EH，FG，BD交于一点 

额外的解释，你问我为什么一个是中点，而另一个不是，就会相交

在同一平面内的线条只有两种模式：要么平行，要么相交

也就是说，不平行，就相交

那么平行的条件是什么，你还记得么

如图所示，△ABC，M，N分别为AB，AC上的一点

如果想要MN平行于BC，那么，必须有：AM/AB=AN/AC，

而现在，原题中，E是中点，而CF/CB=2/3，也就是说，AE/AB=1/2,

那么AE/AB不等于CF/CB，不符合平行的条件，不平行就相交，所以有肯定相交于一点