Question

数列，这个题第二问，这种题一直不会做？这样的题大致思路是什么？

Answer 1

1/2，an，Sn成等差数列，则
2an=Sn +1/2
n=1时，2a1=S1+ 1/2=a1+ 1/2
a1=1/2
n≥2时，
Sn=2an -1/2
an=Sn-S(n-1)=2an -1/2 -2a(n-1)+1/2=2an -2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1/2为首项，2为公比的等比数列。
an=(1/2)×2^(n-1)=2^(n-2)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-2)
bn=a(n+1)log(1/2)a(n+1)
=2^(n-2) ×log(1/2)[2^(n-2)]
=2^(n-2) ×(2-n)
=2^(n-1) -n×2^(n-2)
Sn=b1+b2+...+bn
=[1+2+...+2^(n-1)] -[1×(1/2)+2×1+3×2+...+n×2^(n-2)]
令Bn=1/2+ 2×1+3×2+...+n×2^(n-2)
则2Bn=1+2×2+...+(n-1)×2^(n-2)+n×2^(n-1)
Bn-2Bn=-Bn=1/2 +1+2+...+2^(n-2) -n×2^(n-1)
=1/2 +1×[2^(n-1) -1]/(2-1) -n×2^(n-1)
=(1-n)×2^(n-1) -1/2
Bn=(n-1)×2^(n-1) +1/2
Sn=1+2+...+2^(n-1) -(n-1)×2^(n-1) +1/2
=1×(2^n -1)/(2-1) -(n-1)×2^(n-1) +1/2
=2^n -(n-1)×2^(n-1) -1/2
=[(3-n)/4]×2^(n+1) -1/2
Sn+n×2^(n+1)>50
[(3-n)/4]×2^(n+1) -1/2 +n×2^(n+1) >50
(n+1)×2^n>101/3
随n增大，n+1、2^n均单调递增
n=3时，(n+1)×2^n=4×8=32<101/3
n=4时，(n+1)×2^n=5×16=80>101/3
所求正整数n的最小值是4。