Question

求下列函数的值域

（1）函数y=-2cos(1/2x+π/6)+1的最大值以及此时x的取值集合
（2）y=2sinx，x∈（-π/6,2π/3）
（3）y=2cos（2x+π/3），x∈（-π/3，π/6）
（4）y=1-2sin^2x-2sinx

Answer 1

求下列函数的值域

1.y=3χ+1. χ∈﹛－2，－1，0，1，2﹜

解：y∈{-5，-2，1，4，7}

2.y=χ²－2χ+2, χ∈[﹣1,2]

解：y=(x-1)²+1，对称轴：x=1，y的最小值为y(1)=1；y(-1)=5；y(2)=2，故y∈[1，5]。

3.y=－ 2／(x²－2x+2)

解：y=-2/(x²-2x+2)，去分母得yx²-2yx+2y+2=0，因为x∈R,故其判别式Δ=4y²-4y(2y+2)

=-4y²-8y=-4y(y+2)≧0，即有4y(y+2)≦0，故值域为-2≦y<0.

4.y=x－√(1－3x)

解：定义域：由1-3x≧0，得x≦1/3；故值域为-∞<y≦1/3

解：定义域：x≠3/2；令y′=[(2x-3)(2x-2)-2(x²-2x+3)]/(2x-3)²=2x(x-3)/(2x-3)²=0

得驻点x₁=0。x₂=3；x₁是极大点，x₂是极小点；极大值y(0)=-1；极小值y(3)=2；

值域：(-∞，-1]∪[2，+∞），垂直渐近线：x=3/2；斜渐近线：y=(1/2)x-1/4，其图像如图。

向左转|向右转

Answer 2

4题一样的解法（我就不一一算了）
对y求一次导。得y‘=什么x。当y'=0时，方程y有极大/小值。求出y’=0时的x值，和这个x对应的y值。看这个x在区间的什么位置，把区间里数带入y方程得2个y值。
画个图就知道了
4题，y’=0应该有N个x，代入得出2个y就是值域的上下限

举例子就第4题
4：y=1-2sin^2x-2sinx

y'=-4cos2x-2cosx
当y‘=0时，x=0.5(2k-1)π （k=自然数）
代入y=1-2sin^2x-2sinx 得 y=-1或3
所以值域为[-1,3]

Answer 3

求下列函数的值域
1.y=3χ+1. χ∈﹛－2，－1，0，1，2﹜

解：y∈{-5，-2，1，4，7}
2.y=χ²－2χ+2, χ∈[﹣1,2]

解：y=(x-1)²+1，对称轴：x=1，y的最小值为y(1)=1；y(-1)=5；y(2)=2，故y∈[1，5]。
3.y=－ 2／(x²－2x+2)

解：y=-2/(x²-2x+2)，去分母得yx²-2yx+2y+2=0，因为x∈R,故其判别式Δ=4y²-4y(2y+2)
=-4y²-8y=-4y(y+2)≧0，即有4y(y+2)≦0，故值域为-2≦y<0.
4.y=x－√(1－3x)
解：定义域：由1-3x≧0，得x≦1/3；故值域为-∞<y≦1/3
5.y=(3x-2)／(x-1)
解：y=3+1/(x-1)；x→1- limy=-∞；x→1+limy=+∞；x→±∞limy=3
故值域为(-∞，3)∪(3，+∞).
6.y=(1+√x)/(1-√x)

解：定义域：x≧0，且x≠1；y=-1+2/(1-√x)；y(0)=1；x→1- limy=+∞；x→1+limy=-∞；
x→+∞limy=-1；故值域为y∈(-∞，-1)∪[1，+∞)
7.y=(x²-2x+3)／(2x-3)

解：定义域：x≠3/2；令y′=[(2x-3)(2x-2)-2(x²-2x+3)]/(2x-3)²=2x(x-3)/(2x-3)²=0
得驻点x₁=0。x₂=3；x₁是极大点，x₂是极小点；极大值y(0)=-1；极小值y(3)=2；
值域：(-∞，-1]∪[2，+∞），垂直渐近线：x=3/2；斜渐近线：y=(1/2)x-1/4，其图像如图。

这样可以么？