Question

用微积分的方法。二元函数求极值。

Answer 1

设球面方程为：x^2+y^2+z^2=a^2
令内接长方体在球面的第一卦限中的顶点为(x,y,z)
则x=asinkcost，y=asinksint，z=acosk，其中0<k<π/2，0<t<π/2
则内接长方体的体积V=|2x*2y*2z|
=8|xyz|
=8*asinkcost*asinksint*acosk
=8a^3*sin^2k*cosk*sintcost
=4a^3*sin^2k*cosk*sin2t
∂V/∂k=4a^3*sin2t*(sin2k*cosk-sin^3k)=0
∂V/∂t=8a^3*cos2t*sin^2k*cosk=0
两式联立，得：k=arctan√2，t=π/4
Vmax=4a^3*sin^2(arctan√2)*cos(arctan√2)*sin(2*π/4)
=4a^3*(2/3)*(1/√3)
=(8√3/9)*a^3