Question

设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是（）

Answer 1

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关。

由线性关系的定义求解。

解：A为m×n矩阵，∴A有m行n列，且方程组有n个未知数

Ax=0仅有零解⇔A的秩不小于方程组的未知数个数n

∵R（A）=n⇔A的列秩=n⇔A的列向量线性无关．

矩阵A有n列，∴A的列向量组线性无关

而A有m行，m可能小于n，此时行向量组线性无关，只能说R（A）=m，不能证明r（A）≥n。

因此，充分必要条件是A的列向量组线性无关。

扩展资料

函数线性相关的定理

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

Answer 2

系数矩阵A的列向量组线性无关

Answer 3

齐次线性方程组ax=0有非零解的充分必要条件
就是|a|=0
也就是不是满秩
这里是a为m×n矩阵
就像求线性相关一样，把a的列向量看成是一些向量
x是要求的系数
因为不全为0，所以是线性相关
选a

Answer 4

A
A的列向量组线性无关
表示0的线性表出式唯一，
而零解显然是一组解，所以仅有零解
AX=0仅有零解
假设A的列向量组线性相关
则存在一组非零解
矛盾

Answer 5