Question

初三数学相似多边形题求解！

已知，如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD相交于O，E为OD的中点，EF⊥BC于F，EG垂直AB于G。
求；（1）求证：矩形GBEF∽矩形ABCD （2）若矩形ABCD的周长为16，面积为12，求BF、BG的长

Answer 1

(1)证明：四边形ABCD是矩形，所以
（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以＜ABC=＜BCD=＜CDA=＜DAC=90˚
因为EF⊥BC于F，EG垂直AB于G,所以＜GBF=＜BFE=＜FEG=＜EGB=90˚所以四边形GBEF是矩形。因为三角形BFE相似于三角形BCD,所以线段BC\BF=CD\FE,所以矩形ABCD相似于矩形GBFE.
（2）AD+AB=8，AB*AD=12，AB=2，AD=6或AB=6，AD=2
BE/BD=3/4
△BEG与△ABD相似
当AB=2，AD=6时
AB=CD=2，AD=BC=6
BE/BD=EF/CD
3/4=EF/2
EF=BG=3/2
BE/BD=BF/BC
3/4=BF/6
BF=9/2
当AB=6，AD=2时
AB=CD=6，AD=BC=2
BE/BD=EF/CD
3/4=EF/6
EF=BG=9/2

Answer 2

1. 易知BG/AB=BE/BD=GE/AD=BF/BC=EF/DC

   所以矩形GBEF相似于矩形ABCD

2. 易知AB+BC=8且AB*BC=12

   所以AB=2或6,

   又BF/BC=BE/BD=3/4

   所以BF=9/2或3/2

   所以BG=3/2或9/2

追问

为什么AB=2或6,

追答

AB+BC=8且AB*BC=12
这相当于一个二次方程啊

追问

这个怎么解，写一下过程好吗？还有，BF/BC=BE/BD=3/4怎么来的？

追答

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由AB+BC=8得
AB=8-BC
将其代入AB*BC=12得
8BC-BC^2=12
解得BC=2或6
所以AB=6或2
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因为E为DO中点
所以DE=1/2OD
又OD=BO
所以DE=1/4BD
所以BE/BD=3/4