Question

高中数学题.圆与方程..

设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B. (1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值. (2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.

Answer 1

(1)
设:C(a，b)，因为圆交x轴于E点，同时交y轴于E点，则圆经过坐标原点(O，0)于是:EC为圆半径:EC=√(a²+b²)
圆方程:(x-a)²+(y-b)²=a²+b²
分别令x=0，y=0，求出点B坐标(0,2b)，点A坐标(2a，0)
过AB的直线方程为:x/2a
+y/2b=1
可知:圆心C(a，b)在直线AB上。
于是四边形EACB实际就是三角形AEB，其面积为:2a*2b/2=2ab
又C在y=2/x上，b=2/a
代入面积2ab=2a*(2/a)=4
(2)
由(1)知:EC为圆半径，
而MN为圆上两点，则MN为圆C的弦，且|EM|=|EN|,
于是:EC⊥MN，
MN的斜率为:-2，
则:EC的斜率为:1/2
于是:(b-0)/(a-0)=1/2
b/a=1/2
由(1)知:b=2/a
联立上面两式求得:a=2，b=1，
于是圆的方程为:(x-2)²+(y-1)²=5