Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．NP=2，PC=3。
（1）求证PC=AN
（2）求BC的长
（3）在直线BM上有一动点G，当CG+QG最短时，求BG长度。

Answer 1

（1）证法一：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°
∴AQ=MN，∴△AQP≌△MNA
∵AN=PQ  AM=AP，∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN，∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM，PQ=AN，∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC，∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC，

∴PC=AN．    

（2.3采纳后，再追问，再告诉你答案）

追问

这。。。。。我读书少，你别骗我

追答

（2）直接求出CK,CF,确定各点的位置

三角形ABC与三角形APQ相似

得出AN=PQ=PC=3

AM=AP=5

AQ=MN=4

BC=BQ=6

（3）点G就在P上

∵GC⊥BC，GQ⊥AB

∴BP=BG

由题（2）得BP=2PC=6

∴BG=BP=6

（第3题我不确定，你再看看吧）