Question

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+√3bsin...

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+√3bsinC=a． （1）求角C的大小； （2）若c=1，求a2+b2的取值范围．

Answer 1

解：（1）锐角△ABC中，∵ccosB+√3bsinC=a，
∴由正弦定理可得：sinCcosB+√3sinBsinC=sinA，
即sinCcosB+√3sinBsinC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
即√3sinBsinC=sinBcosC．
∵sinB≠0，∴tanC=√33，C=π6．
（2）∵a2+b2≥2ab，∴ab≤a2+b22，∴-√3ab≥-√32（a2+b2）．
再由余弦定理可得c2=1=a2+b2-2ab•cosC=a2+b2-√3ab≥2-√32（a2+b2），
∴a2+b2≤22-√3=2(2+√3)(2-√3)(2+√3)=4+2√3．
由三角形任意两边之和大于第三边，可得a+b＞c=1，
平方可得a2+b2+2ab＞1，∴2（a2+b2）＞1，∴a2+b2＞12．
综上可得，a2+b2
∈（12，4+2√3]．