Question

已知二次函数y=ax 2 +2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点．（2

已知二次函数y=ax 2 +2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点．（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证： 3 ＜l＜2 3 ．

Answer 1

证明：（1）由a+b+c=0得b=-（a+c）． △=（2b） 2 -4ac=4（a+c） 2 -4ac =4（a 2 +ac+c 2 ）=4[（a+ c 2 ） 2 + 3 4 c 2 ]＞0． 故此函数图象与x轴交于相异的两点． （2）∵a+b+c=0且a＞b＞c， ∴a＞0，c＜0． 由a＞b得a＞-（a+c）， ∴ c a ＞-2． 由b＞c得-（a+c）＞c， ∴ c a ＜- 1 2 ． ∴-2＜ c a ＜- 1 2 ． l=|x 1 -x 2 |= 4( c a + 1 2 ) 2 +3 ． 由二次函数的性质知l∈（ 3 ，2 3 ）．