Question

如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，

如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高．重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G．（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常．（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在g与kg（k＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积．

Answer 1

（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 GMm r 2 =m△g①来计算，式中的m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV②． 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r= d 2 +x 2 ③ △g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影△g′= d r △g ④ 联立以上式子得△g′= GρVd ( d 2 +x 2 ) 3 2 ，⑤ （2）由⑤式得，重力加速度反常△g′的最大值和最小值分别为 （△g′） max = GρV d 2 ⑥ （△g′） min = GρVd (d 2 +L 2 ) 3 2 ⑦ 由题设有（△g′） max =kg、（△g′） min =g⑧ 联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 d= L k 2 3 -1 ，V= L 2 kg Gρ (k 2 3 -1) 答：（1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常是 GρVd ( d 2 +x 2 ) 3 2 （2）此球形空腔球心的深度是 L k 2 3 -1 ，空腔的体积是 GρVd ( d 2 +x 2 ) 3 2 ．