Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，若在区间[-1，1]上，不等式f（x）-2

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，若在区间[-1，1]上，不等式f（x）-2x-m＞0恒成立，则实数m的取值范围为______．

Answer 1

∵f（x）=ax²+bx+c，
∴f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x，
∴

2a＝2 a+b＝0

，解得

a＝1 b＝?1

，即f（x）=x²-x+c，
又∵f（0）=1，
∴c=1，则f（x）=x²-x+1，
∵在区间[-1，1]上，不等式f（x）-2x-m＞0恒成立，
∴x²-x+1-2x-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，
 即x²-3x+1＞m 对x∈[-1，1]恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，又g（x）在[-1，1]上递减，
故g（x）_min=g（1）=-1
∴m＜-1即实数m的取值范围为（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．