Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点．（Ⅰ）求

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD？若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连接FC，MF．
∵MF∥AD，MF＝

1

2

AD，NC∥AD，NC＝

1

2

AD．
∴四边形MNCF为平行四边形，（3分）
∴MN∥FC，又FC?平面PCD，（5分）
∴MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
设AB=2，则B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
设PC上一点E坐标为（x，y，z），

PE

＝λ

PC

，
即（x，y，z-2）=λ（2，2，-2），
则E（2λ，2λ，2-2λ）．（7分）
由

AE ? PB ＝0 AE ? PD ＝0

，解得λ＝

1

2

．
∴

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