Question

设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，3]

设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，3]上的最大值是-7．求c的值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，
则有f'（1）=0，f'（2）=0．
即

6+6a+3b＝0 24+12a+3b＝0

，
解得a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c=-7．
∴c=-2．