Question

设函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f（2）=2+ 2 ，则f（2

设函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f（2）=2+ 2 ，则f（2006）=______．

Answer 1

f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），即f（x+2）= 1+f(x) 1-f(x) ①，所以f（x+4）=[f（x+2）+2]= 1+f(x+2) 1-f(x+2) 将①代入化简得：f（x+4）= 1+ 1+f(x) 1-f(x) 1- 1+f(x) 1-f(x) = - 1 f(x) ，继而f（x+8）=[f（x+4）+4]=f（x） 所以f（x）是周期函数，且T=8 所以f（2006）=f（250×8+6）=f（6）=f（2+4）= - 1 f(2) =- 1 2+ 2 = 2 -2 2 故答案为： 2 -2 2