如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点.点E是边AB上的一动点,连接EM并延长交射线CD于点F,过M
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点.点E是边AB上的一动点,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交BC的延长线于点G,连接EG,交边...
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点M是AD的中点.点E是边AB上的一动点,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交BC的延长线于点G,连接EG,交边DC于点Q.设AE的长为x,△EMG的面积为y(1)求∠MEG的正弦值;(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)线段MG的中点记为点P,连接CP,若△PGC∽△EFQ,求y的值.
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解:(1)过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N,可证得△AEM∽△NMG,
∴
=
,
∴GN=AB=4,
∵M是AD的中点,
∴AM=1,
∴
=
=4,
∵GM⊥EF,
∴在Rt△EMG中,
∴tan∠MEG=
=4;
设MG=4x,EM=x,在△EMG中,由勾股定理得:EG=
=
x,
∴sin∠MEG=
=
=
,
即∠MEG的正弦值是
;
(2)由(1)知,
=4,即MG=4EM,
∵在Rt△AEM中,EM=
∴
MG |
EM |
GN |
MA |
∴GN=AB=4,
∵M是AD的中点,
∴AM=1,
∴
MG |
EM |
GN |
MA |
∵GM⊥EF,
∴在Rt△EMG中,
∴tan∠MEG=
MG |
EM |
设MG=4x,EM=x,在△EMG中,由勾股定理得:EG=
(4x)2+x2 |
17 |
∴sin∠MEG=
MG |
EG |
4x | ||
|
4
| ||
17 |
即∠MEG的正弦值是
4
| ||
17 |
(2)由(1)知,
MG |
EM |
∵在Rt△AEM中,EM=
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