Question

在4×4的方格中，每个格子都填入1、2、3、4四个数字之一，要求每行、每列都没有重复数字，不同的填法共有

在4×4的方格中，每个格子都填入1、2、3、4四个数字之一，要求每行、每列都没有重复数字，不同的填法共有（　　）A．24种B．144种C．432种D．576种

Answer 1

解答：解：根据题意，第一行有4格，分别填入1、2、3、4四个数字，有A₄⁴=24种填法，
然后对第2行排列，此时有了限制条件，即每列不能与第1行的数重复，这相当于4个元素的全错位排列，有9种方法（可以用穷举法穷举）再对第3行排列，用穷举法：假①设第1行为“1  2  3  4”，
  第2行为“4  3  2  1“，
则第3行有“2  1  4  3”、“2  4  1  3“、“3  1  4  2“、“3  4  1  2”4种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
②设第1行为“1  2  3  4”，
   第2行为“2  1  4  3”，
  则第3行有“3  4  1  2”、“3  4  2  1“、“4  3  1  2“、“4  3  2  1“4种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
③设第1行为“1  2  3  4”，
   第2行为“2  3  4  1“，
 则第3行有“3  4  1  2”、“4  1  2  3”2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
④设第1行为“1  2  3  4”，
  第2行为“2   4  1  3“，
则第3行有“3  1  4  2”2“4  3  2  1”2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑤设第1行为“1  2  3  4”，
   第2行为“3  1  4  2“，
则第3行有“2  4  1  3”、“4  3  2  1”；4+2+22种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑥设第1行为“1  2  3  4”，
  第2行为“3  4  1  2“，
则第3行有“2  3  4  1”、“2  1   4  3“、“4  1  2  3“、“4  3  2  1”；4种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑦设第1行为“1  2  3  4”，
  第2行为“3  4  2  1“，
则第3行有“2  1  4  3”、“4  3  1  2”、2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑧第1行为“1  2  3  4”，
  第2行为“4  1  2  3“，
则第3行有“2  3  1  2”、“3  4  1  2”； 2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑨设第1行为“1  2  3  4”，
  第2行为“4  3  1  2“，
则第3行有“2  1  4  3”、“3  4  2  1”；2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
综上，第二、三、四行的方法数有：4+4+2+2+2+4+2+2+2=24，
所以不同的填法有24×24=576种．
故选D．